Question

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC、BD相交于点O,AD=2,BC=BD=3,AC=4,求证:AC⊥BD

请尽量不用相似三角形的方法 O(∩_∩)O谢谢~

Answer 1

延长BC至E,使得CE=AD
∵AD∥BC
∴AD∥CE
∵AD=CE=2
∴四边形ACED是平行四边形
∴AC=DE=4且AC∥DE
∴∠BDE=∠BOC
在△BDE中
BE=BC+CE=5
BE^2=5^2=3^2+4^2=BD^2+DE^2
∴△BDE是Rt△
∴∠∠BDE=∠BOC=90°
∴AC⊥BD

Answer 2

由 AD//BC知AO/OC=OD/OB=AD/BC=2/3
∴BO/AC=OC/BD=3/5
BO=9/5 OC=12/5
∴BO²+OC²=(9/5)²+(12/5)²= 3² ∵BC=3
∴BO²+OC²=BC²
∴⊿BOC为直角三角形 AC⊥BD