Question

求助转动的物理题

如图 一个长度为l，质量为mr的杠，左边固定在墙上，右边用一根不计重力的绳子牵引过滑轮，并接着重物M。滑轮是固定在墙上，半径是R，质量是mp. 重物的质量为M。
当杆从水平位置释放时，初始的角加速度是多少。
重物的加速度是多少。
我的做法是先列左右物体的牛顿第二定律和滑轮的FR=Jα.求出滑轮的加速度，然后求出左侧拉杆的拉力F。再通过Fl-1/2mr l =Jα.再求出α. 这样的做法对吗？如果这样做的话，求滑轮的加速度不就等于求出了物体的加速度，也就是先求出第二问再求第一问？
还有就是绳子和滑轮没有相对滑动

Answer 1

这种问题没有先算谁后算谁之分的，一般都是通过列方程组来求解。
设右端绳中的张力为T1，右端为T2，重物加速度为a，方向向下。则可列如下方程组
Mg-T1=Ma，T1R-T2R=Jp α1，T2 l-1/2mr g l=Jr α2

根据相对静止有a=α1 R=α2 l
这就可以把所有要求的东西解出来了。

Answer 2

要设一个过渡参数，即滑轮左边的绳子的拉力为：T
设：滑轮左边的绳子的拉力为：T，细杆的角加速度为：α，重物的加速度为：a
对细杆：Jα=mrgl/2-Tl
J为杆子以左端点为中心转动的转动惯量：J=mrl^2/3
代入化简：mrl/3=mrg/2+T （1）
则对滑轮与物体：J‘（a/R）+Mar=TR-MgR
J'为滑轮的转动惯量：J'=mpR^2/2
代入化简：mpa/2+Mar/R=T-Mg （2）
（1）（2）联立
mrl/3-mpa/2-Mar/R=mrg/2+Mg
解得：a=（mrl/3-mrg/2-Mg）/（mp/2+Mr/R)
而：αl=a （3）
则有：α=（mrl/3-mrg/2-Mg）/l（mp/2+Mr/R)

追问

对滑轮与物体为什么是J‘（a/R）+Mar=TR-MgR ？那个r是从哪里来的？而且滑轮上的拉力不是只有T和Ma吗，为什么还有Mg?
还有就是你的细杆的那条方程化简，为什么没有了α？

追答

对滑轮与物体为什么是J‘（a/R）+Mar=TR-MgR ，不好意思，是J‘（a/R）+MaR=TR-MgR ？
用的就是动量矩定律。
系统动量矩对时间的一介导数等于系统外力的力矩。
d（J‘ω+MvR）/dt=TR-MgR
J‘dω/dt+MRdv/dt=TR-MgR
得出：J‘（a/R）+MaR=TR-MgR
J'为滑轮的转动惯量：J'=mpR^2/2
代入化简：mpa/2+Ma=T-Mg （1）
对细杆：Jα=mrgl/2-TlJ为杆子以左端点为中心转动的转动惯量：J=mrl^2/3代入化简：mrl/3=mrg/2+T （2）
（1）（2）联立
mrl/3-mpa/2-Ma=mrg/2+Mg解得：a=（mrl/3-mrg/2-Mg）/（mp/2+M)而：α=a /l（3）则有：α=（mrl/3-mrg/2-Mg）/l（mp/2+M)

追问

你细杆的那一步 J=mrl^2/3代入化简：mrl/3=mrg/2+T （2）是不是少了个α？
还有一个问题，系统动量矩是不是因为把滑轮和物体看成一个系统，而具有物体的动量矩和滑轮的转动动量矩？

你细杆的那一步 J=mrl^2/3代入化简：mrl/3=mrg/2+T （2）是不是少了个α？
还有一个问题，系统动量矩是不是因为把滑轮和物体看成一个系统，而具有物体的动量矩和滑轮的转动动量矩？

追答

哦，是的。好像是少了个α，嗯，系统（把物体和滑轮看作一个系统）的动量矩就是物体的动量矩和滑轮的转动动量矩之和。