Question

如图，AB是圆O的弦，半径OC交AB于点D，点P是圆O上AB上方的一个动点（不经过A、B两点），O

如图，AB是圆O的弦，半径OC交AB于点D，点P是圆O上AB上方的一个动点（不经过A、B两点），OC垂直AB，若设角A=a，角APB=60°，角OCB=2角BCM。 （1）求证：CM与圆O相切 （2）当圆心O在角P内时，直接写出a的取值范围 （3）若OC=4，PB=4√2，求PC的长

Answer 1

1)OC是半径 OC⊥AB 所以AC弧=BC弧
因为∠APB=60° 所以AB弧=120° AC弧=BC弧=60°
所以∠BOC=60° OC=OB 所以∠OCB=60°
因为∠OCB=2∠BCM 所以∠BCM=30°
所以∠OCM=∠OCB+∠BCM=90°
所以CM与圆O相切。

2)∠P=60°不变。
圆心O在AP上a最小，这时AP是直径 ∠ABP=90°
a=90°-60°=30°
圆心O在BP上a最大，这时BP是直径 a=90°
所以a的范围：30°<a<90°

3)连接OP OB 过O做OD⊥BP与D 则BD=DP=2√2
OB=2 所以∠BOD=∠POD=45° 所以∠BOP=90°
所以BP弧=90° ∠BCP=45° 又因为∠APB=60°
所以BC弧=60° 所以∠BPC=30°
△PBC中 ∠BPC=30°∠BCP=45° BP=4√2
过B做BE垂直PC于E
很容易算出BE=2√2 PE=2√6 CE=2√2
所以PC=PE+CE=2√6+2√2=2√2(√3+1)

追问

第三问一开始证角BOP为90°可以不用这么麻烦吧？

追答

恩，在三角形BOP中根据边长能直接证出来∠BOP=90° ，能简单点，此题可以这样。如果不是90°的话就按应该按上面那么做。

追问

好吧