Question

设函数f(x)=(1/3) x^3+ax^2+5x+6在区间【1，2】上是单调函数，则实数a的取值范围是

在区间【1，3】上是单调函数

Answer 1

f'(x)=x²+2ax+5
∵f（3）在（1，3）上为单调函数，
∴f'(x)≤0或f’（x）≥0在（1，3）上恒成立。
令f'(x)=0即x²+2ax+5)=0 则a=-（x²+5）/2x
设g(x)=-（x²+5）/2x 则g’（x）=（5-x²）/2x²
令g’（x）=0得：x=√5或x=-√5（舍去）
∴当1≤x≤√5时，g’（x）≥0，当√5≤x≤3时，g’（x）≤0
∴g（x）在(1,√5）上递增，在（√5，3）上递减,
g（1)=-3 g(3)=-7/3,g(√5）=-√5
∴g(x)的最大值为g(√5）=-√5，最小值为g（1)=-3
∴当f'(x)≤0时，a≤g(x)≤g（1)=-3
当f’（x）≥0时，a≥g(x)≥g(√5）=-√5
∴a≤-3或a≥-√5

追问

为什么要令g’（x）=0？，能不能把每一步细讲一下？