Question

线性代数:求特征向量的具体过程？

Answer 1

1.   令  |λE-A|=0,  先求出所有特征值。

2. 对于每个已知的特征值λ，解齐次线性方程组(λE-A)x=0，

   求基础解系ξ，即为属于特征值λ的特征向量。

追问

这个我知道，问题是那个带入以后，基础解系怎么求出来的？

追答

对系数矩阵 λE-A 进行初等行变换，化为最简阶梯型矩阵，
对自由未知量设非零值，求出其它未知量的值就出来了。
具体请看线性代数教科书齐次方程组一节的例题。

追问

你能用我做了笔记的这种方法做吗？

追答

给你个例子吧。
已知实对称矩阵 A=(2 -2 0, -2 1 -2 . 0 -2 0) , 求特征向量.|λE-A| =
|λ-2 2 0|
|2 λ-1 2|
|0 2 λ|
|λE-A| =
|λ-2 2 0|
|2 λ-1 2|
|-λ (4+λ-λ^2)/2 0|
|λE-A| = (-2)[(λ-2)(4+λ-λ^2)/2+2λ]
= λ^3-3λ^2-6λ+8 =(λ-1)(λ+2)(λ-4)
得特征值 λ = -2， 1， 4.
对于 λ = -2，λE-A =
[-4 2 0]
[2 -3 2]
[0 2 -2]
行初等变换为
[2 -3 2]
[0 -4 4]

[0 2 -2]
行初等变换为
[2 0 -1]
[0 1 -1]

[0 0 0]
得特征向量 (1, 2, 2)^T;

对于 λ = 1，λE-A =
[-1 2 0]
[2 0 2]
[0 2 1]
行初等变换为
[-1 0 -1]
[0 2 1]
[0 0 0]

得特征向量 (2, 1, -2)^T;
对于 λ = 4，λE-A =
[2 2 0]
[2 3 2]
[0 2 4]
行初等变换为
[1 0 -2]
[0 1 2]
[0 0 0]

得特征向量 (2, -2, 1)^T.

追问

那个特征向量可乙取无穷个吧？你看我拍得那到例题。。

追答

特征向量是一组比例值，不能为无穷大。

追问

可是你看我拍的书上的集体是k倍的基础解系，你求得是基础解系而不是特征向量吧？

追答

全部特征向量是基础解系的k倍，一般取 k=1， 因特征向量本身就是一组比例值。

追问