Question

急:这道线性代数的证明题,我需要一个完整的证明过程,先谢谢高人了

α、β、γ⑴为线性无关的,α、β、δ也为线性无关的⑵,α、β、γ、δ⑶是线性相关的,证明⑴和⑵是等价的.
谢谢你的关注,只是
我对补充证明的第三行还有疑义

Answer 1

α、β、γ⑴为线性无关的
α、β、γ、δ⑶是线性相关的
所以δ能被α、β、γ⑴线性表示【证明见补充】
又有α、β显然能被α、β、γ⑴线性表示
所以α、β、δ⑵能被α、β、γ⑴线性表示
同理α、β、γ⑴能被α、β、δ⑵线性表示
所以⑴和⑵是等价的.

补充证明：
α、β、γ、δ⑶是线性相关的
存在不全为0的 k1 k2 k3 k4使k1α+k2β+k3γ+k4δ=0
其中k4不为0，否则会有k1α+k2β+k3γ=0 与α、β、γ⑴为线性无关矛盾
既然k4不为0，则δ=（-k1/k4）α+（-k2/k4）β+（-k3/k4）γ
δ能被α、β、γ⑴线性表示

对补充证明的第三行的解释，即k4为何不是0：
反证法，假设k4=0
根据k1α+k2β+k3γ+k4δ=0
则有k1α+k2β+k3γ=0
k1 k2 k3 k4不全为0，又有k4=0，那么k1 k2 k3 不全为0
这样，就找到了一组不全为0的k1 k2 k3 使k1α+k2β+k3γ=0 成立
说明αβγ线性相关，这与α、β、γ⑴为线性无关矛盾

Answer 2

题目是不是抄错了