Question

设各项均为正数的数列an的前n项和为sn 已知a1=3

设各项均为正数的数列an的前n项和为sn 已知a1=3 ，4Sn=an²+2an+4(n≥2)
(1)求a2,a3
(2)求an的通项公式
（3)求证1/S1+1/S2+ ........+1/Sn＜5/6

Answer 1

解：
1.
4S2=4a1+4a2=a2²+2a2+4
a2²-2a2+4-4a1=0
a1=3代入，a2²-2a2-8=0
(a2+2)(a2-4)=0
a2=-2(数列各项均为正，舍去)或a2=4
4S3=4a1+4a2+4a3=a3²+2a3+4
a3²-2a3+4-4a1-4a2=0
a1=3，a2=4代入，整理，得
a3²-2a3-24=0
(a3+4)(a3-6)=0
a3=-4(数列各项均为正，舍去)或a3=6
a2=4 a3=6
2.
n≥2时，
4an=4Sn-4S(n-1)=an²+2an+4-[a(n-1)²+2a(n-1)+4]
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值
数列从第2项开始，是以4为首项，2为公差的等差数列
an=4+2(n-2)=2n
n=1时，a1=2×1=2≠3，a1不满足通项公式
数列{an}的通项公式为
an=3 n=1
2n n≥2
3.
n=1时，1/S1=1/a1=1/3<5/6
n≥2时，
1/Sn=1/[3+2(2+3+...+n)]
=1/[2(1+2+...+n)+1]
=1/[2n(n+1)/2 +1]
=1/(n²+n+1)
<1/(n²+n)
=1/[n(n+1)]
=1/n -1/(n+1)

1/S1+1/S2+1/S3+...+1/Sn
<1/3+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n -1/(n+1)
=1/3+1/2 -1/(n+1)
=5/6 -1/(n+1)
n>0 1/(n+1)>0 5/6-1/(n+1)<5/6
1/S1+1/S2+...+1/Sn<5/6
综上，得1/S1+1/S2+...+1/Sn<5/6