Question

在四边形ABCD中AB=AD，AC于BD交于点E，∠ADB=∠ACB。（1）求证AB/AE=AC/AD（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：ABFD是菱形

Answer 1

证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴AB/AE=AC/AB，
又∵AB=AD，
∴AB /AE =AC /AD ；

（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB2=AE•AC，
∴AB= （根号3） x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=（2根号3 ）x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中点，
∴BF=（根号3） x，
∴BF=AB=AD，
又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵AD=AB，
∴四边形ABFD是菱形．