Question

请教几个简单的曲面积分问题

1。设f具有连续导数，∑为z=-sqrt(1-x^2-y^2)的上侧，I=∫∫(2/y)*f(xy^2)dydz-(1/x)*f(xy^2)dzdx+(x^2z+y^2z+z^3/3)dxdy,则I为多少？我算的是-2/3PI,但是答案是-2/5PI，请问-2/5PI是怎么算出来的，请写下详细过程，谢谢。
2。给定曲面∑：z=z0+sqrt(1-x^2-y^2),那么曲面积分∫∫2ds是多少呢？
我的意思是，因为质心为（0，0，z0）,所以答案是4PIz0，但是答案是4PI。为什么。
3。设∑为曲面x^2+y^2+z^2=1的外侧，则∫∫=x(x^2+1)dydz+y(y^2+1)dzdx+z(z^2+1)dxdy是多少？
4。曲面积分I=∫∫ (z-1)dxdy之值是_______,其中∑是球面x^2+y^2+z^2=1在第一卦限的部分下侧。
我仔细写过了，都和答案不一样。请问如何写，请写下详细步骤。谢谢。
难道不是半个球面吗？
老兄，我真的不知道那个PI到PI/2是怎么来的，你可否推导下呢？
谢谢。

Answer 1

第2题是第一型曲面积分，显然就是求所给曲面的面积的2倍
而加个z0不过是把曲面平移一下，面积是不变的。
所以当然是4pi了。
另外3题是第二型曲面积分。
这种题就按公式老老实实算呗。。。详细步骤太~~麻烦了。。
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第三题
做球面坐标变换
x=rsin(u)cos(v)
y=rsin(u)sin(v)
z=rcos(u)
然后化成累次积分,并注意到dv=r^2*sin(u)drdudv
算一下就有32pi/5
我算了，是对的

里面应该是r^4
你算丢项了

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dv=r^2*sin(u)drdudv

而不是
dv=sin(u)drdudv

！！！

不太明白你的问题的意思，不过这种题你就认真按公式算就行了，没太多需要解释的吧

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1.曲面是下半球面
2.你再好好看看欧拉变换各个角度的几何意义就知道了
你现在都不知道那个角是具体怎么得到的吧，那怎么做题呢
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你不是说第一题吗？
第一题怎么能是那个范围呢。。。。
你看好曲面是什么东西
是下半球面！下半！晕死我了。。。

Answer 2

我还没学到，学到这里再告诉你