Question

试作开区间（0，1）与闭区间[0，1]的一一对应

写出分析和解答

Answer 1

1、解：做从(0,1)到[0,1]映射f(x)

分段函数：

f(x)=0,（当x=1/2时）

f(x)=1/n,（当x=1/n+2时，其中n=1，2，… 即：n为正整数序列）

f(x)=x,（当x≠1/n+2且x≠1/2时，其中n=1，2，… 即：n为正整数序列）

此f(x)即为双射，符合题目要求。

2、当然(0,1)开区间和[0，1]闭区间之间还有很多种双射。

按照可以将有理数进行排序的原则，将0，1插入序列中，有很多种方法。

那种方法理论可行，只是表达繁琐而已，理论上讲是没问题的。

3、一数轴中，任意(a,b)区间a<b，都可和另一个区间或者若干个区间的并集（不管开闭）做双射。
n维空间都可以和m空间做双射（当然了，他们都不能是只有单独的一个零元素组成的空间）

Answer 2

把[0,1]上的有理数排成下列顺序：
0,1,1/2，1/3,1/4,2/3,1/5,1/6,2/5,3/4,……
其中有理数m/n,m,n为自然数，n≠0，m,n互质，按m+n，m/n从小到大排列，
从第三个有理数开始，每个有理数对应于它前面的第二个有理数，无理数对应于它本身，这个对应是（0,1）到[0,1]的一一对应。
请采纳。

追问

分析呢？

Answer 3

分析：二者区别仅两个端点，所以二者中的无理数完全相同，而其中有理数可数，与1,2,3,...一一对应，所差两个点只需移动一下就可以了。
解答：
根据(0,1)中的有理数可数（如果还没有，随便找找书上可以找到一种构造）
所以存在一个把正整数和(0,1)中的有理数一一对应的映射，f(n)为有理数,0<f(n)<1
构造一个新的映射 g, g(1)=0,g(2)=1,而n>2时，g(n)=f(n-2)，显然g也是一一对应的，记其逆映射为g'
现在令映射h: 将[0,1]中的无理数映射为自身，有理数x映射为f(g'(x))，容易证明这个h即为满足条件的一一映射。