Question

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD与点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，

在AF的延长线截取FD=BD，连接BG,DF。

问题：
（1）是判断四边形BDFG是什么特殊的平行四边形？请说明理由。
（2）如果∠G=30°，AF=8,CF=6，求四边形BDFG的面积。

Answer 1

解：（1）菱形。理由如下
∵GF∥BD GF=BD
∴四边形BDFG是平行四边形
∵GF∥BD CF⊥BD
∴CF⊥AF
∴∠CFA=90°
∵CD=AD
∴FD=1/2AC
∵∠ABC=90° CD=AD
∴BD=1/2AC
∴BD=FD
∴平行四边形BDFG是菱形
（2）∵菱形BDFG
∴∠BDF=∠G=30°
∵∠DEF=90°
∴EF=1/2DF
∵∠AFC=90° AF=8 CF=6
∴AC=10
∴DF=BD=5
∴EF=5/2
∴S菱形BDFG=BD·EF=12.5

Answer 2

（1）四边形BDFG是菱形
证明：因为三角形ABC是直角三角形
BD为AC的中线
所以D是AC的中点
BD是直角三角形ABC的中线
所以BD=AD=CD=1/2AC
因为AC平行BD
所以角AFC=角DEC
因为FG=BD
所以四边形BDFG是平行四边形
因为CE垂直BD
所以角DEC=90度
所以角AFC=90度
所以三角形AFC是直角三角形
FD是直角三角形AFC的中线
所以FD=AD=CD=1/2AC
所以DF=BD
所以四边形BDFG是菱形
（2）解：因为AC平行BD
所以FE/CF=AD/AC=DE/AF
因为AD/AC=1/2
所以FE=1/2CF
DE=1/2AF
因为CF=6 AF=8
所以FE=3 DE=4
因为角DEF+角DEC=180度
角DEC=90度（已证）
所以角DEF=90度
所以三角形DEF是直角三角形
所以由勾股定理得：
DF^2=EF^2+DE^2
所以DF=5
因为四边形BDFG是菱形
所以S菱形BDFG=1/2FG^2*sin角G*2
FG=BG=DF
因为角G=30度
所以S四边形BDFG=25/2