Question

三角形ABC中，若a=2,A=π/3，则b+c的取值范围

第二题，条件一样，求ABC的面积最大值

Answer 1

b+c的取值范围为2＜b+c≤4。

解：由余弦定理可得，

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，

即1/2=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，

那么化简可得，3bc=(b+c)^2-4，

又因为bc≤(b+c)^2/4，

那么3bc=(b+c)^2-4≤3*(b+c)^2/4，

即(b+c)^2/4≤4，

那么(b+c)^2≤16，

可得(b+c)≤4，

又在三角形ABC中，b+c＞a，即b+c＞2，

所以b+c的取值范围为2＜b+c≤4。

扩展资料：

1、余弦定理表达式

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

若三边为a，b，c 三角为A、B、C，则余弦定理的表达式如下。

（1）c^2=a^2+b^2-2abcosC

（2）b^2=a^2+c^2-2accosB

（3）a^2=b^2+c^2-2bccosA

2、三角形性质

（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2） 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

（3）在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

参考资料来源：百度百科-余弦定理

参考资料来源：百度百科-三角形

Answer 2

B+C=2π/3，
由正弦定理得：
ΔABC的外接圆半径R，
2R=a/sinA=4/√3，
b+c=4/√3(sinB+sinC)
=4/√3[2sin(B+C)/2 *cos(B-C)/2]
=4cos(B-C)/2,
∴b+c≤4，又b+c>a=2，
∴2<b+c≤4。

2、SΔABC=1/2bc*sinA
=1/2×√3/2×4R^2sinB*sinC
=4/√3［ -(1/2)[cos(B+C)-cos(B-C)]
=2/√3［1/2+cos(B-C)］
∴B-C=0时，
SΔABC最大=(2/√3)*(3/2)/2
=√3。

追问

[2sin(B+C)/2 *cos(B-C)/2
这里看不懂怎么变来的，求教

追答

Answer 3

追问

第二行 的后半段怎么来的，能解释吗

追答

(b+c)^2>=4bc
bc=-3(b+c)^2/4