Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求证：∠BPQ=60°；(3)求AD的长．

Answer 1

（1）（2）见解析；（3）9

试题分析：（1）由于△ABC是等边三角形，那么有AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，而AE=CD，利用SAS可证△BAE≌△ACD； （2）由△BAE≌△ACD可得∠1=∠2，根据∠BAE=∠1+∠BAD=60°，等量代换则有∠2+∠BAD=60°，再利用三角形外角性质可得∠BPQ=60°； （3）在Rt△BPQ，易求∠PBQ=30°，于是可求得BP，从而可求得BE，而△BAE≌△ACD，即可得到结果． （1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°， 又∵AE=CD， ∴△BAE≌△ACD， (2) 如图所示： ∵△BAE≌△ACD， ∴∠1=∠2， ∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°， ∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°， ∴∠BPQ=60°； （3）∵BQ⊥AD， ∴∠BQP=90°， 又∵∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ=2×4=8， ∴BE=BP+PE=8+1=9， 由（1）知△BAE≌△ACD， ∴AD=BE=9． 点评：解答本题的关键是熟练掌握含有30°的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半.