Question

设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=5x-8（1）求f（x）的解析式；（2）

设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=5x-8（1）求f（x）的解析式；（2）若曲线y=f（x）上的任一点P（x0，y0）处的切线与直线x=0及直线y=x分别相交于A、B两点，O为坐标原点，求证：△AOB的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

（1）解：方程y=5x-8，当x=1时，y=-3，
∵f（x）=ax-

b

x

，
∴f′（x）=a+

b

x2

，
∴

a+b＝5 a?b＝?3

解得a=1，b=4，故f（x）=x-

4

x

．
（2）证明：设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，由f′（x）=1+

4

x2

知曲线在点P（x₀，y₀）处的切线方程为
y-y₀=（1+

4

x02

）（x-x₀）
令x=0，得y=-

8

x0

，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，-

8

x0

）；
令y=x，得y=x=2x₀，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x₀，2x₀）；
∴点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为

1

2

|-

8

x0

||2x₀|=8．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为8．