Question

已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）在

已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）在轨迹C上是否存在两点M、N，使这两点关于直线l：y=kx+3对称，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解（1）由题意可知，动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线， ∴ p 2 =1?p=2 ， ∴轨迹方程为y 2 =4x． （2）易知k=0时不符合题意，应舍去． 当k≠0时，设点 M( y 21 4 ， y 1 )，N( y 22 4 ， y 2 ) 关于直线l：y=kx+3对称，MN的中点为Q（x ° ，y ° ），则 y 2 - y 1 y 22 4 - y 21 4 =- 1 k ? y 1 + y 2 =-4k? y ° =-2k ， ∵Q（x 0 ，y 0 ）在直线l上， ∴y 0 =kx 0 +3，∴ x 0 =- 2k+3 k ． ∵点Q在抛物线的内部，∴ y 0 2 ＜4 x 0 ． 即 (-2k ) 2 ＜4×(- 2k+3 k ) ? k 3 +2k+3 k ＜0 ? (k+1)( k 2 -k+3) k ＜0 ． ∵ k 2 -k+3=(k- 1 2 ) 2 + 11 4 ＞0 恒成立，∴ k+1 k ＜0 ， ∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0． ∴k的取值范围是（-1，0）．