已知函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；（2）若函数f（x）在区间（1，
已知函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．...
已知函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．
展开
1个回答
展开全部
（1）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），---------（1分）
∴f′(x)＝
?2x+1＝?
-------------------（2分）
令f'（x）=0，即?
＝0，解得x＝?
或x=1．
∵x＞0，∴x＝?
舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0．---（6分）
（2）法一：因为f（x）=lnx-a2x2+ax其定义域为（0，+∞），
所以f′(x)＝
?2a2x+a＝
＝
①当a=0时，f′(x)＝
＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意----------（8分）
②当a＞0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞
．
此时f（x）的单调递减区间为(
，+∞)．
依题意，得
解之得a≥1．-------------------（12分）
③当a＜0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞
?
此时f（x）的单调递减区间为(?
，+∞)，
∴
∴f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 2x2?x?1 |
| x |
令f'（x）=0，即?
| 2x2?x?1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
∵x＞0，∴x＝?
| 1 |
| 2 |
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0．---（6分）
（2）法一：因为f（x）=lnx-a2x2+ax其定义域为（0，+∞），
所以f′(x)＝
| 1 |
| x |
| ?2a2x2+ax+1 |
| x |
| ?(2ax+1)(ax?1) |
| x |
①当a=0时，f′(x)＝
| 1 |
| x |
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意----------（8分）
②当a＞0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞
| 1 |
| a |
此时f（x）的单调递减区间为(
| 1 |
| a |
依题意，得
|
③当a＜0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞
| 1 |
| 2a |
此时f（x）的单调递减区间为(?
| 1 |
| 2a |
∴
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
