Question

求数学高手解答！！！怎么证明两个有限集的单射是双射？

原题是这样的
设f为一个从群{G,*}到群{H,@}的同态映射。
求证当且仅当Ker(f)={eH}时，也就是核元素集仅含有恒等元素时，群{G,*}到群{H,@}为同构映射。
我从左边推导出G到H是单射，从右边推导出G到H是双射。但问题是如果|H|>|G|，G到H不一定是满射。书里给的答案很不清楚，说因为G和H都是有限集，所以单射等价于满射。是这样的吗？求高手解答！

Answer 1

只要证明单射同时也是满射，那么就是双射了。
或者，特别地，若是有限集合，那么只要两个集合AB元素个数相同，那么A→B的单射就是双射了。

Answer 2

当同态的核只有e时，只能推出单射，不能推出满射，你的想法是正确的。例如随便找一个有限阶群G,它的真子群为G'，则G'到G有一个嵌入i，但不是同构。
书上内容你是不是看错了，比如他说，G到f（G）的同态，那么这个同态是同构

追问

对，你说的就是我的疑问，也就是说只要反证出单射不能推满射就行了吧？

很有可能是书出错了，毕竟两个有限集还是无法限定集合的相对大小。

书上写的是G和H，两个独立的集合。