Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为 2 3 ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为 2 3 ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段 . AB 所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为 x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 （b＞a＞0）（1分）  由焦距为4，可得2c=4，∴c=2， 又 c a = 2 3 ，故a=3（2分） ∴b 2 =a 2 -c 2 =5， ∴所求椭圆方程为 x 2 5 + y 2 9 =1 （3分） （Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 由 AM MB =2 ，故有 2= y 1 +2 y 2 1+2 （5分）即y 1 +2y 2 =6， 又M相应的准线方程是 y= a 2 c = 9 2 ，A到准线距离 d 1 = 9 2 - y 1 ，B到准线距离 d 2 = 9 2 - y 2 （6分）， ∵ |AM| d 1 =e= 2 3 ， |BM| d 2 = 2 3 （7分） ∴ |AM|= 2 3 ( 9 2 - y 1 )， |BM|= 2 3 ( 9 2 - y 2 ) ， ∴ |AM| |BM| = 3- 2 3 y 1 3- 2 3 y 2 =2 得4y 2 -2y 1 =9② ②与①联立解得 y 1 = 3 4 ，代入椭圆方程得 x 1 = 5 3 4 ， ∴直线AB的斜率 k= 3 4 -2 5 3 4 -0 = 3 3 （9分）， ∴AB的方程为 y= 3 3 x+2 （10分）， 如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为 y=- 3 3 x+2 ．（12分）