Question

已知函数f（x）=x4+ax-lnx-32，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=12x．（

已知函数f（x）=x4+ax-lnx-32，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=12x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，
∴f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x．
∴f′（1）=

1

4

-a-1=-2，
解得：a=

5

4

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

，f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2?4x?5

4x2

（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值-ln5．