Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）?[f（x）+f（y

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）?[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式f(x+12)＜f(1?2x)；（3）若f（x）≤m2-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）在[-1，1]上单调增，证明如下
由题意，设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂
则x₁-x₂＜0
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）?[f（x）+f（y）]＞0．
令x=x₁，y=-x₂，
∴f（x₁）+f（-x₂）＜0
∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在[-1，1]上单调增；
（2）由（1）知，?1≤x+

1

2

＜1?2x≤1，解得：0≤x＜

1

6

（3）由于函数f（x）在[-1，1]上单调增，
∴函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1
∴f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可转化为：0≤m²-2am对所有a∈[-1，1]恒成立
∴

m2?2m≥0 m2+2m≥0

，
解得m≥2或m≤-2或m=0