Question

已知函数f(x)＝xx?1（1）判断函数f（x）在区间[2，5]上的单调性．（2）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大

已知函数f(x)＝xx?1（1）判断函数f（x）在区间[2，5]上的单调性．（2）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）f（x）在[2，5]上单调递减．
设x₁，x₂∈[2，5]且x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝

x1

x1?1

?

x2

x2?1

=

x1(x2?1)?x2(x1?1)

(x1?1)(x2?1)

=

x2?x1

(x1?1)(x2?1)

，
∵2≤x₁＜x₂≤5，∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f(x )＝

x

x?1

在区间[2，5]上为减函数；
（2）由（1）知，f（x）在区间[2，5]上单调递减，
所以f（x）在[2，5]上的最大值是：f(2)＝

2

2?1

＝2，f（x）在区间[2，5]上的最小值是：f(5)＝

5

5?1

＝

5

4

．