如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；
如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求点C到平面DEB的距离；（3）求...
如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求点C到平面DEB的距离；（3）求二面角E-BD-P的余弦值．
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解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E是PC的中点，
DE⊥PC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PCB．…（4分）
（2）解：过点C作CM⊥BE于点M，
由（1）知平面DEB⊥平面PCB，
又平面DEB∩平面PCB=BE，
∴CM⊥平面DEB，
∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，
∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，
∴PC=2
，EC=
，BC=2，
∴BE=
，∴CM=
＝
．…（8分）
（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
∴
＝(2，2，0)，
＝(0，1，1)，
设平面BDE的法向量为
＝(x，y，z)，
则
?
＝0，
?
＝0，
∴
，令z=1，得到y=-1，x=1，∴
＝(1，?1，1)，
又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，
＝(?2，2，0)，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为
＝(1，?1，0)．
设二面角E-BD-P的平面角为α，
则cosα=|cos＜
，
＞|=|
|=
．
∴二面角E-BD-P的余弦值为
又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E是PC的中点，
DE⊥PC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PCB．…（4分）
（2）解：过点C作CM⊥BE于点M，
由（1）知平面DEB⊥平面PCB，
又平面DEB∩平面PCB=BE，
∴CM⊥平面DEB，
∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，
∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，
∴PC=2
| 2 |
| 2 |
∴BE=
| 6 |
| CE?BC |
| BE |
2
| ||
| 3 |
（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
∴
| DB |
| DE |
设平面BDE的法向量为
| n |
则
| n |
| DB |
| n |
| DE |
∴
|
| n |
又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，
| AC |
∴平面PDB的一个法向量为
| m |
设二面角E-BD-P的平面角为α，
则cosα=|cos＜
| m |
| n |
| 1+1+0 | ||||
|
| ||
| 3 |
∴二面角E-BD-P的余弦值为
