Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．（1）求该抛物线的

如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的顶点是F，对称轴与AC的交点是N，P是在AC上方的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，交AC于M．若P点的横坐标是m．问：①m取何值时，过点P、M、N、F的平面图形不是梯形？②四边形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，请求出此时m的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax²+bx-2，
得

16a+4b?2＝0 a+b＝0

，
解得：

a＝? 1 2 b＝ 5 2

．
∴该抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则

n＝?2 4m+n＝0

解得：

m＝ 1 2 n＝?2

，
由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DCA=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×DE×OA=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，S_最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

（3）存在．∵y=-

1

2

x²+

5

2

x-2=-

1

2

（x-

5

2

）²+

9

8

．
∴F（

5

2

，

9

8

）
①Ⅰ当P和F重合时，P、M、N、F成一条直线，不能构成梯形，此时m=

5

2

．
Ⅱ如图2，设P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）（0＜m＜

5

2

）．作PM⊥x轴，FN是对称轴，
∴PM∥FN
∴当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形．
由于N（

5

2

，-

3

4

），M（m，

1

2

m-2）
∴PM（-

1

2

m²+

5

2

m-2）-（

1

2

m-2）=-

1

2

m²+2m，
FN=

9

8

-（-

3

4

）=

15

8

当PM=FN时
即：-

1

2

m²+2m=

15

8

，解得m=

3

2

，m=

5

2

（舍去）
∴当m=

3

2

，m=

5

2

时过P、M、N、F的平面图形不是梯形．


（3）四边形PMNF可能是等腰梯形．
过抛物线上的点P′垂直于x轴的直线交AC于M′，
由于m=

3

2

时，四边形PMNF是平行四边形，所以PF=MN，
根据抛物线的对称性，当m=

7

2

时，有P′F=M′N，此时梯形P′FNM′是等腰梯形．