Question

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为______．

Answer 1

法一：设EC=y，FC=x．
∵∠C=90°，PE⊥BC，PF⊥CA，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EP=FC=x；
∵AC=1，BC=2，
∴BE=2-y，
∵∠C=90°，PE⊥BC，
∴PE∥AC，
∴∠BPE=∠A，
又∵∠B=∠B，
∴

2?y

2

=

x

1

，即y=2（1-x）；
∵EF²=x²+y²
∴EF²=5（x-

4

5

）²+

4

5

（0＜x＜1），
∴当x=

4

5

时，EF_最小值=

4 5

=

2 5

5

．

法二：连接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=

5

，
∴PC的最小值为：

AC?BC

AB

=

2 5

5

．
∴线段EF长的最小值为

2 5

5

．