Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4（n+1）（Sn+1）=（n+2）2an（n∈N+）．（1）求a1，a2的值；（2）求a

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4（n+1）（Sn+1）=（n+2）2an（n∈N+）．（1）求a1，a2的值；（2）求an；（3）设bn=n+1an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜34．

Answer 1

（1）当n=1时，有4×(1+1)(a1+1)＝(1+2)2a1，解得a₁=8．
当n=2时，有4×(2+1)(a1+a2+1)＝(2+2)2a2，解得a₂=27．
（2）（法一）：当n≥2时，有4(Sn+1)＝

(n+2)2an

n+1

，…①
4(Sn?1+1)＝

(n+1)2an?1

n

． …②
①-②得：4an＝

(n+2)2an

n+1

?

(n+1)2an?1

n

，
化为

an

an?1

＝

(n+1)3

n3

，
∴an＝

an

an?1

?

an?1

an?2

?…?

a2

a1

?a1＝

(n+1)3

n3

?

n3

(n?1)3

?…?

43

33

?23＝(n+1)3．
又∵当n=1时，有a₁=8，∴an＝(n+1)3．
（法二）根据a₁=8，a₂=27，猜想：an＝(n+1)3． 
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n=1时，有a1＝8＝(1+1)3，猜想成立．
（Ⅱ）假设当n=k时，猜想也成立，即：