Question

已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-12，当x＞4时，f（x）＞32，

已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-12，当x＞4时，f（x）＞32，且f（12）=0．（1）求f（2）的值；（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

Answer 1

（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），
对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，
∴f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，
∴f（1）=

1

2

，
∴f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，
∵f（

1

2

）=0，∴f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

=f（

4x2

x1

?4）-

1

2

=f(

4x2

x1

)+f(

1

4

)?1，
∵f（

1

4

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）-

1

2

，且

4x2

x1

＞4时，f（x）＞

3

2

，
∴f(x2+3x)＞

3

2

＝f(4)，
∴

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