Question

定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对于任意的m,n∈(0,+∞)，有f(mn)=f(m)+f(n)成立，当x＞1 ，f(x)＜0

求证f(x)是(0,+∞)上的减函数
当f(2)=-1/2，解不等式f(ax+4)＞-1

Answer 1

1.
设a>b>0，则a/b>1，f(a/b)<0
令m=b, n=a/b, 则mn=a
f(a)=f(mn)=f(m)+f(n)=f(b)+f(a/b)
f(a)-f(b)=f(a/b)<0
f(a)<f(b)
所以f(x)是(0,+∞)上的减函数

2.
f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=-1
所以f(ax+4)>f(4)
由于f(x)是(0,+∞)上的减函数，得
0<ax+4<4
-4<ax<0
当a=0，-4<0<0不成立
当a>0，-4/a<x<0
当a<0，0<x<-4/a