Question

（2014?凉山州一模）四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，且ABCD是菱形，AB=BC=2，AA1=4，∠ABC=60°

（2014?凉山州一模）四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，且ABCD是菱形，AB=BC=2，AA1=4，∠ABC=60°．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）若E是棱CC1的是中点，求二面角A1-BD-E的余弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，
∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）解：连结A₁O，EO，A₁E，
∵在四棱柱中，底面ABCD是棱形，且E是棱CC₁的中点，
∴A₁B=A₁D，EB=ED，又∵O是BD的中点，
∴A₁B=A₁D，EB=ED，
又∵O是BD的中点，∴A₁O⊥BD，EO⊥BD，
∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，
∵四棱柱中，AA₁⊥平面ABCD，AB=BC=2，AA₁=4，
∴A1O＝

17

，EO=

5

，A1E＝2

2

，
∴在△A₁OE中，cos∠A1OE＝

A1O2+EO2?A1E2

2A1O?EO

=

17+5?8

2 17 ? 5

=

7 85

85

，
∴二面角A₁-BD-E的平面角的余弦值为

7 85

85

．