Question

如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管置于竖起平面内，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速度进入管

如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管置于竖起平面内，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，求：（1）A、B两球进入管内时的初速度？（2）A、B两球落地点间的距离？

Answer 1

（1）以A球为对象，设其到达最高点时的速度为v_a，
根据向心力公式有：mg+F_A=m

v 2 A

R

，
已知：F_A=3mg，代入解得：v_A=2

gR

；
以B球为对象，设其到达最高点时的速度为v_b，
根据向心力公式有：mg-F_B=m

v 2 B

R

，
已知：F_B=0.75mg，解得：v_B=

1

2

gR

，
从最低点到最高点过程，由动能定理得：
对A：-mg?2R=

1

2

mv_A²-

1

2

mv_A0²，解得：v_A0=

6gR

，
对B：-mg?2R=

1

2

mv_B²-

1

2

mv_B0²，解得：v_B0=

33 8 gR

；
（2）A、B两球脱离轨道的最高点后均做平抛运动，
在竖直方向：2R=

1

2

gt²，解得：t=2

R g

，
所以A、B两球的水平位移分别为：s_A=v_At，s_B=v_Bt，
故A、B两球落地点间的距离为：△s=s_A-s_B，代入数据解得：△s=3R．
答：（1）A、B两球进入管内时的初速度分别为：

6gR

、

33 8 gR

．
（2）A、B两球落地点间的距离是3R．