Question

如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得

如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是______；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且∠APC=∠BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）四边形EFGH的形状是菱形； （2）第一问的结论仍成立，即四边形EFGH为菱形，理由为： 连接AD，BC，如图2所示， ∵∠APC=∠BPD， ∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB， 在△APD和△CPB中， AP=CP ∠APD=∠CPB PD=BP ， ∴△APD≌△CPB（SAS）， ∴AD=BC， 在△ACD中，E为AC中点，H为CD中点， ∴EH为△ACD的中位线， ∴EH= 1 2 AD，EH ∥ AD， 同理PG= 1 2 AD，PG ∥ AD，HG= 1 2 AC， ∴EH=PG，EH ∥ PG，且EH=HG， 四边形EFGH为菱形； （3）四边形EFGH为正方形，理由为： 连接AD，BC，如图3所示， ∵∠APC=∠BPD， ∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB， 在△APD和△CPB中， AP=CP ∠APD=∠CPB PD=BP ， ∴△APD≌△CPB（SAS）， ∴AD=BC，∠DAP=∠BCP， 在△ACD中，E为AC中点，H为CD中点， ∴EH为△ACD的中位线， ∴EH= 1 2 AD，EH ∥ AD， 同理PG= 1 2 FG，PG ∥ AD，HG= 1 2 AC， ∴EH=PG，EH ∥ PG，且EH=HG， 四边形EFGH为菱形， 又∠CMN=∠AMP，∠DAP=∠BCP， ∴△CMN ∽ △AMP，又∠APC=90°， ∴∠CNM=∠APC=90°， ∴四边形EFGH为正方形． 故答案为：正方形

Answer 2

如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．
（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是______；
（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且∠APC=∠BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．