Question

（2013?安徽）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=6．（Ⅰ）证

（2013?安徽）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=6．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．

Answer 1

解：（I）连接AC交BD于O，连接PO
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点
∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD
∵PO、AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO=

1

2

AB=1，AC=

3

AB=2

3

，可得△ABC的面积为S=

1

2

AC×BO=

3

∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=

3

2

BD=

3

因此，△PAO中AO²+PO²=6=PA²
∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PO=

1

3

×

3

×

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