Question

已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2+4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=2x-3．（Ⅰ）求a，b的值

已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2+4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=2x-3．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极小值．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+b）+ae^x-2x+4由条件可得：f（0）=b，b+a+4=2，f（0）=-3，所以解得a=1，b=-3，所以f（x）=e^x（x-3）-x²+4x．
（Ⅱ）令f′（x）=e^x（x-3）+e^x-2x+4=（x-2）（e^x-2）=0得：x=2，或x=ln2，所以将R分成区间（-∞，ln2），[ln2，2）和[2，+∞）所以
（1）x∈（-∞，ln2）时：0＜ln2＜1，所以x-2＜0；e^x＜e^ln2=2，所以e^x-2＜0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，ln2]上单调递增；
（2）x∈（ln2，2）时：x-2＜0，e^x-2＞0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（ln2，2）上单调递减；
（3）x∈（2，+∞）时：x-2＞0，e^x＞e²＞4，所以e^x-2＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（2，+∞）上单调递减．
由（2）（3）知x=2时，原函数取到极小值，极小值为：4-e²．