已知:如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB 边上有一动点P(不与A、B重合),连

已知:如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连接DP,作PQ⊥DP,PQ交射线BC于点E... 已知:如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB 边上有一动点P(不与A、B重合),连接DP,作PQ⊥DP,PQ交射线BC于点E,设AP=x。(1)如果△APD是等腰三角形,求x的值;(2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出BC的长在什么范围内时,存在这样的点P,使得PQ经过点C。 展开
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手机用户06354
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知道答主
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解:(1)过点D作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形,
∴DH=BC=4,HB=CD=6,
∴AH=2,
∵AP=x,
依题意得2<x<8,
∴PH=x-2,
①当AP=AD时,
②当AD= PD时,有AH=PH,
∴2=x-2,
解得x=4,
③当AP=PD时,
在Rt△DPH中,x 2 =4 2 +(x-2) 2
解得x=5,
∵2<x<8,
∴△APD是等腰三角形时, ,4或5;
(2)∵点P不与点B重合,
∴点E必在线段BC上,易证△DPH∽△PEB,


整理得y= (x-2)(8-x),
即y=- x 2 + x-4;
(3)假设存在满足条件的点P,则BE=BC=4,
即y=- x 2 + x-4=4,
整理,得x 2 -10x+32=0,
∵△=(-10) 2 -4×32<0,
∴此方程无实数解,与假设矛盾,
∴不存在点P,使得PQ经过点C,
 当BC满足O<BC≤ 时,存在点P,使得PQ经过点C。

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