Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时， f(x)=( 1 2 ) x ．（I）求f（-1）的值；

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时， f(x)=( 1 2 ) x ．（I）求f（-1）的值；（II）求函数f（x）的值域A；（III）设函数 g(x)= - x 2 +(a-1)x+a 的定义域为集合B，若A?B，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数 ∴f（-1）=f（1） 又x≥0时， f(x)=( 1 2 ) x ∴ f(1)= 1 2 ，即f（-1）= 1 2 ． （II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数， 可得函数f（x）的值域A即为 x≥0时，f（x）的取值范围， 当x≥0时， 0＜( 1 2 ) x ≤1 故函数f（x）的值域A=（0，1]． （III）∵ g(x)= - x 2 +(a-1)x+a 定义域B={x|-x 2 +（a-1）x+a≥0}={x|x 2 -（a-1）x-a≤0} 方法一：由x 2 -（a-1）x-a≤0得（x-a）（x+1）≤0 ∵A?B∴B=[-1，a]，且a≥1（13分） ∴实数a的取值范围是{a|a≥1} 方法二：设h（x）=x 2 -（a-1）x-a A?B当且仅当 h(0)≤0 h(1)≤0 即 -a≤0 1-(a-1)-a≤0 ∴实数a的取值范围是{a|a≥1}