Question

设O为坐标原点，抛物线y 2 =4x与过焦点的直线交于A、B两点，则 OA ? OB =

设O为坐标原点，抛物线y 2 =4x与过焦点的直线交于A、B两点，则 OA ? OB =（　　） A． - 3 4 B． 3 4 C．-3 D．3

Answer 1

由题意知，抛物线y 2 =4x的焦点坐标为（1，0）， ∴设直线AB的方程为y=k（x-1）， 由 y 2 =4x y=k(x-1) ?k 2 x 2 -（2k 2 +4）x+k 2 =0． 设出A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ） 则 x 1 + x 2 = 2 k 2 +4 k 2 ，x 1 x 2 =1． ∴y 1 ?y 2 =k（x 1 -1）?k（x 2 -1）=k 2 [x 1 x 2 -（x 1 +x 2 ）+1]． ∴ OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 =1+k 2 [2- 2 k 2 +4 k 2 ]=-3． 当斜率不存在时仍然成立． 故选C．