Question

已知椭圆x24+y2=1经过点（1，32），且一个焦点为（3，0）．若直线y=k（x-1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭

已知椭圆x24+y2=1经过点（1，32），且一个焦点为（3，0）．若直线y=k（x-1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求|AB||PQ|的取值范围．

Answer 1

直线y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2?4

1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

?2k

1+4k2

．
∴线段AB的中点坐标为（

4k2

1+4k2

，

?k

1+4k2

），
∴线段AB的垂直平分线方程为y-

?k

1+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+4k2

）．
取y=0，得x=

3k2

1+4k2

，
于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q（

3k2

1+4k2

，0），
又点P（1，0），
∴|PQ|=|1-

3k2

1+4k2

|=

1+k2

1+4k2

．
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 (1+k2)(1+3k2)

1+4k2

．
于是，

|AB|

|PQ|

=4

3? 2 1+k2

．
∵k≠0，
∴1＜3-

2

1+k2

＜3．
∴

|AB|

|PQ|

的取值范围为（4，4

3

）．