Question

已知函数f(x)=3ax 2 +2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.(1)求证:-2< <-1.(2)若x 1 ,x 2 是方程f(x

已知函数f(x)=3ax 2 +2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.(1)求证:-2< <-1.(2)若x 1 ,x 2 是方程f(x)=0的两个实根,求|x 1 -x 2 |的取值范围.

Answer 1

(1)见解析  (2) [ , )

(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c, 又b+c=0, 则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c 2 <0与已知矛盾. 因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c) =-(a+b)(2a+b)>0, 即( +1)( +2)<0,从而-2< <-1. (2)x 1 ,x 2 是方程f(x)=0的两个实根, 则x 1 +x 2 =- ,x 1 x 2 =- , 那么(x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =(- ) 2 +4× = ·( ) 2 + · + = ( + ) 2 + . ∵-2< <-1, ∴ ≤(x 1 -x 2 ) 2 < , ∴ ≤|x 1 -x 2 |< . 即|x 1 -x 2 |的取值范围是[ , ).