Question

关于立体几何的一道题，跪求大神帮忙

Answer 1

几何法:
(1)∵AA1⊥面A1B1C1,面ABC∥面A1B1C1,∴AA1⊥AB
∵AC⊥AB,∴AB⊥面AA1C1C
∴AA1是A1B在面AA1C1C上的射影
作DM⊥AA1於M,则M是D的射影
∵BD=2DA1,∴AM=2MA1
连接EM,易证EM⊥AC1,∴ED⊥AC1
同理,AA1是AC1在面AA1B1B的射影,作EN⊥AA1於N,易证DN⊥A1B,∴ED⊥A1B
即DE是A1B和AC1的公垂线
(2)易证DM=1/3,EM=√2/3,DE=√3/3,且EM⊥AC1,DE⊥AC1
∴∠DEM是二面角D-AC1-A的平面角,tanDEM=DM/EM=√2/2=tanβ
勾股定理得AB1=AC1=B1C1=√2,连接AC1中点O和B1,则OB1=√6/2
在AB1上找一点P,使PE⊥AC1,则PE∥OB1
易证PE=√6/3,且∠PED是二面角B1-AC1-D的平面角
连接DP,易证DP∥A1B1,且DP=A1B1/3=1/3
在△DEP中,馀弦定理得cosPED=4/3√2
∴tanα=√2/4
∴tanβ=2tanα

向量法:
易证AB,AA1,AC互相垂直,∴以A为原点,AC,AA1,AB为轴建系
由题意得AC1→=(1,1,0),A1B→=(0,-1,1)
E(1/3,1/3,0),D(0,2/3,1/3),∴DE→=(1/3,-1/3,-1/3)
∵DE→·AC1→=1/3-1/3=0,∴DE⊥AC1
∵DE→·A1B→=1/3-1/3=0,∴DE⊥A1B
∵D∈A1B,E∈AC1,∴DE是AC1和A1B的公垂线
(2)AD→=(0,2/3,1/3),设面AC1D法向量为n→=(x,y,2),则
2/3*y+2/3=0,x+y=0
解得n→=(1,-1,2)
易证AB→=(0,0,1)是面AC1A1的法向量
cos<n→,AB→>=2/[√(1+1+4)*1]=2/√6=cosβ
∴tanβ=1/√2
同理得面AB1C1法向量m→=(1,-1,1)
cos<n→,m→>=(1+1+2)/[√(1+1+4)*√(1+1+1)]=4/√18=2√2/3=cosα
∴tanα=1/2√2
∴tanβ=2tanα