Question

已知函数f(x)=（x²+ax+a）/x, x∈[1,＋∞)，且a＜1

（1）判断f（x）单调性并证明
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），确定m的取值范围
（3）若函数g（x）=x·f（x）对任意x∈[2,5]时，g（x）+2x+3/2＞0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1.
f(x)=（x²+ax+a）/x
=x+a+a/x ，x>1
f'(x)=1-a/x^2=(x^2-a)/x^2
a<1，x>1
得f'(x)>0，f(x)在[1,＋∞)是增函数。
2.
因为函数在定义域内是增函数，则原式等价于求不等式：
3m＞5-2m＞1
易得m∈(1,2)
3.
g(x)=xf(x)=x²+ax+a，令G(x)=g（x）+2x+3/2=x²+（a+2）x+a+3/2
当x∈[2,5]，G(x)>0，则只要求Gmin>0

当抛物线对称轴x=-（a+2）/2在[2,5]时，则
Gmin=G（-（a+2）/2）=-（a+2）^2/4+a+3/2>0
解得a∈∅
当抛物线对称轴x=-（a+2）/2>=5时
Gmin=G（5）=25+5a+10+a+3/2>0
解得a∈∅
当抛物线对称轴x=-（a+2）/2<=2时
Gmin=G（2）=4+2a+4+a+3/2>0
解得a>-19/6