Question

已知x∈R，求证：ex≥x+1

已知x∈R，求证：ex≥x+1．

Answer 1

证明：设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．