Question

已知0°<α<90°,求证:1<sinα+cosα≤√2

Answer 1

证：
设：f(α)=sinα+cosα
f²(α)=(sinα+cosα)²
f²(α)=sin²α+cos²α+2sinαcosα
f²(α)=1+sin(2α)
因为：0°＜α＜90°
有：0°＜2α＜180°
所以：0°＜sin(2α)≤1
即：1＜1+sin(2α)≤2
因此：1＜f²(α)≤2
而：0°＜α＜90°，故：sinα＞0、cosα＞0
因此：f(α)＞0
所以：1＜f(α)≤√2
即：1＜sinα+cosα≤√2
证毕。

Answer 2

方法一：
思路：欲证1<sinα+cosα≤√2
先证1＜1+sin2α≤2
即证 0＜sin2α≤1
证明：∵0°<α<90°
∴0°＜2α＜180°
∴sin2α∈(0,1]
∴1+sin2α∈(1,2]
∴(sinα+cosα)²∈(1,2]
∴1＜sinα+cosα≤2
∴原式得证
方法二：
思路：sinα+cosα=√2sin(α+45°)
只需证√2/2＜sin(α+45°)≤1
证明：：∵0°<α<90°
∴ 45°＜α+45°＜135°
∴√2/2＜sin(α+45°)≤1
∴ 1＜√2sin(α+45°)≤√2
即 1＜sinα+cosα≤2
∴原式得证

借鉴了一下楼下的解法

Answer 3