如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2．（1）求证：平
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若∠PD...
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若∠PDC=120°，求四棱锥P-ABCD的体积．
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（1）
∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）取AB的中点E，连结DE、AC，设PA=x，
∵直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，
∴四边形BCDE为正方形，
可得Rt△ADE中，AE=AB-CD=1，DE=BC=1，得AD=
=
，
∵Rt△ABC中，AC=
=
，
∴Rt△PAC中，PC=
=
，同理可得PD=
．
∵△PDC中，CD=1，∠PDC=120°，
∴由余弦定理，得PC2=CD2+PD2-2PC?PD?cos120°，即5+x2=12+2+x2+
∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）取AB的中点E，连结DE、AC，设PA=x，
∵直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，
∴四边形BCDE为正方形，
可得Rt△ADE中，AE=AB-CD=1，DE=BC=1，得AD=
| AE2+DE2 |
| 2 |
∵Rt△ABC中，AC=
| BC2+AB2 |
| 5 |
∴Rt△PAC中，PC=
| AC2+PA2 |
| 5+x2 |
| 2+x2 |
∵△PDC中，CD=1，∠PDC=120°，
∴由余弦定理，得PC2=CD2+PD2-2PC?PD?cos120°，即5+x2=12+2+x2+
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