Question

不等式x2+|2x-4|≥p对所有x都成立，则实数p的最大值为______

不等式x2+|2x-4|≥p对所有x都成立，则实数p的最大值为______．

Answer 1

2
根据题目提供的不等式
x2+|2x-4|≥p
得出当x≤2时不等式左边取值最小4，此题归类为绝对值去符号问题。
假设曲线y=x2+|2x-4|,x∈R，当x≥2时曲线方程为y=x2+2x-4（化简后y=4x-4），当x＜2时，曲线y=x2-2x+4=4
所以y曲线最小值为4，由此得出p最大值为4

Answer 2

当x≤2时，函数等价于f（x）=x²-2x+4，f′（x）=2x-2．
①当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；②当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x≤2时，f（x）有最小值f（1）=1-2+4=3；
当x＞2时，函数等价于f（x）=x²+2x-4，f′（x）=2x-2，故x＞2时，函数是单调递增的，此时f（x）_min=f（2）=4．
∴x²+|2x-4|的最小值为3，故p≤3
∴实数p的最大值为3．
故答案为3．