Question

已知函数f(x)＝23sinxcosx+2cos2x?1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若x

已知函数f(x)＝23sinxcosx+2cos2x?1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若x∈[0，π3]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f(x)＝2

3

sinxcosx+2cos2x?1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（3）若x∈[0，

π

3

]，即0≤x≤

π

3

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
可得当2x+

π

6

=

π

6

或

5π

6

时，即x=0或

π

3

时，函数有最小值为1；
当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，函数有最大值为2．