Question

如图，过函数f（x）=logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞

如图，过函数f（x）=logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=logmx，（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值；（2）当b=a2时，求mb?2ca的最小值；（3）已知h（x）=ax，φ（x）=bx，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，求证：h[f（x2）]＜φ[f（x1）]．

Answer 1

解答：（1）解：由题意得A（2，log₃2），B（4，log₃4），C（4，log_m4）
因为AC与x轴平行
所以log_m4=log₃2
所以m=9
（2）解：由题意得A（a，log_ca），B（b，log_cb），C（b，log_mb）
因为AC与x轴平行
所以log_mb=log_ca
因为b=a²，所以m=c²
所以

m

b

?

2c

a

＝

c2

a2

?

2c

a

＝(

c

a

?1)2?1
所以

c

a

＝1时，达到最小值-1
（3）证明：因为a＜x₁＜x₂＜b，且c＞1
所以log_ca＜log_cx₁＜log_cx₂＜log_cb
又因为a＞1，b＞1
所以alogcx2＜alogcb，blogca＜blogcx1
又因为log_cblog_ca=log_calog_cb
所以logcalogcb＝logcblogca
所以alogcb＝blogca
所以alogcx2＜blogcx1
即h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．