Question

已知定义在R上的奇函数f（x）．当x＜0时，f（x）=x 2 +2x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）问：是否

已知定义在R上的奇函数f（x）．当x＜0时，f（x）=x 2 +2x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）问：是否存在实数a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为 [ 1 b ， 1 a ] ？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵当x＜0时，f（x）=x 2 +2x， ∴当x＞0时，f（-x）=（-x） 2 +2（-x）=x 2 -2x， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（0）=0，且当x＞0时f（x）=-f（-x）=2x-x 2 ， 因此，函数f（x）的解析式为 f(x)= - x 2 +2x，(x＞0) 0，(x=0) x 2 +2x，(x＜0) ； （I）由（1）求出的f（x）解析式，作出f（x）的图象如图所示． 若f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为 [ 1 b ， 1 a ] ， 则a＜b且 1 b ＜ 1 a ，可得a＜b＜0或0＜a＜b． ①当a＜b＜0时，若a∈（-1，0），则 1 a ＜-1 ． 由于函数f（x）在（-∞，0）的最小值为-1，所以不存在x∈[a，b]使函数值的集合为 [ 1 b ， 1 a ] ， 因此a∈（-∞，-1]，同理可得b∈（-∞，-1]， ∴a＜b≤-1，可得f（x）在[a，b]上为减函数， 即 f(a)= a 2 +2a= 1 a f(b)= b 2 +2b= 1 b ，解之得 a=- 1+ 5 2 b=-1 ； ②当0＜a＜b时，类似①的方法可得a∈[1，+∞），且b∈[1，+∞）． ∴1≤a＜b，可得f（x）在[a，b]上为减函数， 即 f(a)= a 2 +2a= 1 a f(b)= b 2 +2b= 1 b ，解之得 a=1 b= 1+ 5 2 ． 综上所述，存在 a=1 b= 1+ 5 2 或 a=- 1+ 5 2 b=-1 ，使得f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为 [ 1 b ， 1 a ] ．