Question

（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的

（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求证：PC⊥ ；（2）求证：CE∥平面PAB； （3）求三棱锥P－ACE的体积V．

Answer 1

(1)略 (2)略 (3)V＝

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°， ∴BC＝ ，AC＝2．取 中点 ，连AF, EF， ∵PA＝AC＝2，∴PC⊥ ．　　　　　 （1分） ∵PA⊥平面ABCD， 平面ABCD， ∴PA⊥ ，又∠ACD＝90°，即 ， ∴ ，∴ ， ∴ ．                       (3分) ∴ ．                 (4分) ∴PC⊥ ．　 　　　　　　　　　 （5分） （2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则 EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA 平面PAB， ∴EM∥平面PAB．              （7分） 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB． ∵MC 平面PAB，AB 平面PAB， ∴MC∥平面PAB．                       （9分） ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC 平面EMC，∴EC∥平面PAB．     （10分） 证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN． ∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．         （7分） ∵E为PD中点，∴EC∥PN．                               （9分） ∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，∴EC∥平面PAB．             （10分） (3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC． 在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2 ，得EF＝． （12分） 则V＝ ．                         (14分)