Question

如图，点B是x轴正半轴上一动点，点A是线段OB垂直平分线上的点，P为y轴正半轴上一动点，且∠OPB=∠OAB=α

如图，点B是x轴正半轴上一动点，点A是线段OB垂直平分线上的点，P为y轴正半轴上一动点，且∠OPB=∠OAB=α（α为锐角）．（1）求证：∠AOP=∠ABP；（2）如图1，若∠AOB=60°，PO=2，求：①PB的长；②PA的长．（3）已知，点A的纵坐标是3，问当点B在x轴正半轴上移动时（如图2），PO+PB的长是否会发生改变？若不变，求出PO+PB的值；若会改变，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠OPB=∠OAB，且∠OMP=∠AMB，
∴∠AOP=∠ABP；
（2）解：∵点A为OB垂直平分线上的点，
∴OA=AB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OPB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴PB=2OP=4，BM平分∠ABO，
∴BM⊥OA，AM=OM，
∴PA=OP=2；
（3）解：PO+PB的长不变，理由为：
延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴；
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
∵∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠ODB，
∴∠ODB=∠ABP，
∴AD=OA，BP=PD，
∴E为OD中点，
∵OE=AH=3，
∴PO+PB=OP+PH+HB=OP+PE+OE=2OE=6．