Question

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的AB中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．





Answer 1

解（1）由题意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y＝

4

x2

+

k

400?x2

(0＜x＜20)
其中当x＝10

2

时，y=0.065，
所以k=9
所以y表示成x的函数为y＝

4

x2

+

9

400?x2

(0＜x＜20)
（2）y＝

4

x2

+

9

400?x2

，y′＝?

8

x3

?

9×(?2x)

(400?x2)2

＝

18x4?8(400?x2)2

x3(400?x2)2

，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x＝4

10

，
当0＜x＜4

10

时，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0所以函数为单调减函数，
当4

10

＜x＜20时，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0所以函数为单调增函数．
所以当x＝4

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