Question

（2013?宜宾一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43．（Ⅰ）求椭圆C的标准方

（2013?宜宾一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设C方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)
由已知b=2

3

，离心率e＝

c

a

＝

1

2

，a2＝b2+c2 …（3分）
得a=4，所以，椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

＝1…（4分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，-3），则|PQ|=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y＝

1

2

x+t，代入

x2

16

+

y2

12

＝1，
得x²+tx+t²-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得

x1+x2＝?t x1x2＝t2?12

，
四边形APBQ的面积S＝

1

2

×6×|x1?x2|＝3

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